Asal sayılar matematiğin en temel konularından biridir. Bu nedenle ortaokul ve lise seviyesindeki öğrenciler eğer asal sayı nedir bilmiyorsa mutlaka öğrenmesi gerekir. Asal sayılarla ilgili en çok karşımıza çıkan kavramlarından biri de aralarında asal sayılardır. Bu yazıda aralarında asal ne demek net bir şekilde açıklayacak ve örnekler yapacağız.
1’den başta ortak pozitif böleni olmayan sayılarına aralarında asal sayılar denir. İki sayının tek ortak böleni 1 ise bu sayılar aralarında asal demektir.
Örnekler üzerinden daha iyi anlayacağız. Öncelikle bir sayının asal sayı olması ile iki sayının aralarında olması aynı şeyler değildir. Bir sayının asal olması kendisiyle ilgili iken aralarında asal kavramı iki ve daha fazla sayı için geçerlidir.
İki sayı asal sayıyla kesinlikle aralarında da asaldır. Ancak aralarında asal sayılar ille asal olmak zorunda değildir.
Konuyu iyi anlamak için aşağıdaki örneklere mutlaka bakın. Eğer asal sayılarla ilgili temel bilginiz yoksa asal sayılar konu anlatımı kısmından çalışabilirsiniz.
Aralarında Asal Sayılara Örnekler
İki sayı aralarında asalsa üç durum söz konusu olabilir.
- İki sayı da asal sayı ise zaten aralarında da asal sayılardır.
- Sayılardan biri asal biri asal olmayan olabilir.
- İki sayı da asal sayı olmayabilir.
Asal sayılar 1 ve kendisi dışında pozitif böleni olmayan sayılardır. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 gibi sayılar asa sayılardır.
Aralarında asal sayılara örnekler şöyle verilebilir:
- 3 ile 5 aralarında asaldır. Çünkü bu sayıların her ikisi de zaten asal sayıdır. Ortak pozitif bölenleri ise yalnızca 1’dir.
- 3 ile 4 aralarında asaldır. 4’ün asal sayı olmaması buna engel değildir. 3 ve 4’ün ortak pozitif böleni 1’dir.
- 8 ile 15 aralarında asaldır. Bu sayıların her ikisi de tek başına asal değilken birbirlerine göre aralarında asaldır. Çünkü tek ortak pozitif bölenleri 1’dir.
- 99 ile 100 aralarında asaldır. Çünkü yine 1’den başka ortak bölenleri yoktur.
- 4, 5 ve 9 sayılarının üçü de aralarında asaldır. Çünkü pozitif ortak bölenleri 1’dir.
Eğer 1’den başka pozitif ortak bölen çıkarsa bu sayılar aralarında asal olmaktan çıkar. 2 çift sayının ortak böleni en azından 2 olacağı için sayıların ikisi de çiftse bu sayılar aralarında asal olamaz.
Aralarında asal sayıların EBOB’u 1 olmak zorundadır. Çünkü 1’den başka bu sayıları ortak olarak bölen pozitif sayı yoktur. EBOB 1 değilse o zaman bu sayılar aralarında asal da değildir.
1 ile Aralarında Asal Sayılar
1’in asal sayı olmadığını biliyoruz. Ancak her sayı 1 ile aralarında asaldır. Çünkü tanıma uymaktadır. Tanım bize ne diyor? Sayılar arasında 1’den başka ortak pozitif bölen olmamalıdır. 1 ile herhangi başka bir pozitif sayı arasındaki durum da aynen böyledir.
1 ile 2, 1 ile 5, 1 ile 8, 1 ile 20 hepsi aralarında asal olarak düşünülebilir.
Diğer çok sorulan sorulardan biri de 1 ile 1 aralarında asal mıdır sorusudur. 1 ile 1’in pozitif ortak böleni sadece 1’dir. Tanıma uyduğu için evet 1 ile 1 aralarında asaldır diyebiliriz.
1 dışında diğer sayılar için bu durum geçerli değildir. Örneğin 4 ile 4 aralarında asal değildir. Çünkü ortak pozitif bölenleri 1 ve 4’tür.
Aralarında asal olma durumu sadece bütün sayılar pozitif olduğunda geçerli bir durumdur. Negatif sayılarda aralarında asal olma durumu aranmaz. Daha doğrusu bu konu genellikle müfredatınızın konusu değildir diyelim.
Aralarında Asal Soruları
Aralarında asal nedir ve ne demektir öğrendik. Yukarıdaki örneklere bakarak kendiniz de örnekleri çoğaltabilirsiniz. Ancak konuyu iyi öğrenmek için mutlaka basit de olsa birkaç örnek soru çözmek gerekecektir.
İki basamaklı 26 sayısı ile 3a sayısının aralarında asal olduğu bilinmektedir. Buna göre a aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Çözüm: 31, 33, 35 ve 37 sayıları ile 26 sayısı tek tek alındıklarında aralarında asaldır. Ancak a = 9 olduğunda 26 sayısı ile 39 sayısı aralarında asal olmaz. Çünkü ortak bölenleri 1 ve 13’tür. Dolayısıyla cevap E seçeneğidir.
Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asal değildir?
A) 2 ve 5
B) 15 ve 16
C) 11 ile 67
D) 30 ile 68
E) 89 ile 81
Çözüm: 2 ve 5 sayılarının her ikisi asal oldukları için bu sayılar aralarında saldır. 15 ve 16 ardışık sayılardır. Ardışık doğal sayılar da her zaman aralarında asaldır. 11 ve 67 de aralarında asaldır. 89 ve 81’in de 1’den başka ortak böleni yoktur. Ancak D seçeneğinde her iki sayı da çifttir. Bu nedenle ikisinin pozitif ortak böleni olarak 2 bulunur. Bu sayılar aralarında asal değildir. Cevap D seçeneğidir.
Birbirinden farklı üç doğal sayı olan 12, 17 ve x sayıları aralarında asaldır. Buna göre x sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 15
B) 18
C) 25
D) 36
E) 85
Çözüm: 15 ve 12’nin her ikisi de 3’ün katıdır. Aynı şekilde 18 de üçün katıdır. Bu nedenle A ve B seçenekleri olamaz. 36 da doğrudan 12’nin katıdır. 85 ise 17’nin tam katıdır. Ancak x sayısı 25 olabilir. Bu durumda üç sayı da aralarında asal olacaktır. Cevap C seçeneğidir.
Doğal sayılar kümesinde yer alan a ve b sayıları için a/b = 4/10 eşitliği verilmiştir. Bu iki sayı aralarında asal olduğuna göre a.b çarpımının değeri nedir?
A) 10
B) 20
C) 40
D) 80
E) 160
4 ve 10 aralarında asal değildir. Bunların katları da aralarında asal olmayacaktır. Aralarında asal olabilmeleri için kesri en sade haline getirelim. a/b = 2/5 olur. 2 ve 5 aralarında asal olduğu için şartı sağlar. Öyleyse sayılar 2 ve 5, çarpımları ise 10 olur. Doğru yanıt A seçeneğidir.
Aralarında asal ne demektir öğrendiniz. Asal sayılarla ilgili bol miktarda örnek çözerek öğrendiklerinizi pekiştirmeyi ihmal etmeyin.